logaritma

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan a^c = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:

^alog b = c

dengan syarat a > 0 dan

Sumber gambar: careerarn.com

Pada penulisan logaritma ^alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya ^elog b = c menjadi:

ln b = c

Berikut ini sejumlah contoh logaritma:

Perpangkatan	Contoh Logaritma
21 = 2	2log 2 = 1
20 = 1	2log 1 = 0
23 = 8	2log 8 = 3
2-3 = 8	2log  = – 3
	9log
103 = 1000	log 1000 = 3

Sifat-sifat Logaritma

1. Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

^alog p.q = ^alog p + ^alog q

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

^alog b x ^blog c = ^alog c

dengan syarat a > 0, .

3. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

^alog  = ^alog p – ^alog q

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:

^alog b =

dengan syarat a > 0, .

5. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

^alog  = – ^alog

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :

^alog b^p = p. ^alog b

dengan syarat a > 0, , b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:

 

dengan syarat a > 0, .

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya:

^alog a^p = p

dengan syarat a > 0 dan .

9. Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:
dengan syarat a > 0, , m > 0.

video rumus matematika

Sistem koordinat Kartesius

Artikel ini adalah bagian dari seri tentang
René Descartes
Kartesianisme · Rasionalisme Foundationalism Doubt and certainty Dream argument Cogito ergo sum Trademark argument Causal adequacy principle Mind–body dichotomy Geometri analitis Sistem koordinat Cartesian circle · Folium Rule of signs · Cartesian diver Balloonist theory Wax argument Res cogitans · Res extensa
Karya-karya
The World Discourse on the Method La Géométrie Meditations on First Philosophy Principles of Philosophy Passions of the Soul
Tokoh
Christina, Queen of Sweden Baruch Spinoza Gottfried Wilhelm Leibniz Francine Descartes
l b s

Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.
Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).
Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).
Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.
Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.
Lihat koordinat untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem koordinat polar.

Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)
Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.
Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).
Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel di bawah ini).

Kuadran	nilai x	nilai y
I	> 0	> 0
II	< 0	> 0
III	< 0	< 0
IV	> 0	< 0

Pengertian Bilangan Pecahan

Secara singkat, bilangan pecahan dapat diartikan sebagai sebuah bilangan yang memiliki pembilang dan juga penyebut. Pada bentuk bilangan ini, pembilang dibaca terlebih dahulu baru disusul dengan penyebut. Ketika menyebutkan suatu bilangan pecahan, diantara pembilang dan penyebut harus disisipkan kata "per". Misalkan untuk bilangan 3/5 maka kita dapat menyebutnya dengan "tiga per lima" begitu juga dengan bilangan 1/4 kalian bisa membacanya "satu per empat" atau "seperempat".

Apabila ada bilangan pecahan yang memiliki nilai sama atau nilainya tetap ketika pembilang dan penyebutnya dikalikan/dibagi dengan sebuah bilangan (bukan nol) maka bilangan pecahan tersebut disebut dengan pecahan senilai. Konsep dari pecahan senilai adalah:

Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh pecahan senilai berikut ini:

Cara Menyederhanakan Bilangan Pecahan

Suatu bilangan pecahan dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan angka-angka yang menjadi FPB dari pembilang dan penyebut tersebut. Sebagai contoh, pecahan 45/54 dapat disederhanakan menjadi 5/6 karena FPB dari 45 dan 54 adalah 9.

Contoh lainnya:

12/8       = 3/2

20/12     = 5/3

14/8       = 7/4

32/24     = 4/3

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan

Penjumlahan bilangan pecahan

Untuk menjumlahkan dua buah bilangan pecahan, maka syarat utama dari kedua bilangan tersebut adalah harus memiliki penyebut yang sama. Contohnya:

3/5 + 1/5 = 4/5

1/4 + 5/4 = 6/4

2/5 + 7/5 = 9/5

4/7 + 8/7 = 12/7

9/6 + 1/6 = 10/6

5/2 + 6/2 = 11/2

Sedangkan untuk menjumlahkan bilangan pecahan yang memiliki bilangan penyebut berbeda, maka kalian harus menyamakan kedua penyebut tersebut dengan cara mencari kpk dari kedua bilangan yang menjadi penyebut. Contohnya:

1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4

2/3 + 3/6 = 4/6 + 3/6 = 7/6

4/3 + 5/6 = 8/6 + 5/6 = 13/6

3/5 + 2/4 = 12/20 + 10/20 = 22/20

2/3 + 3/8 = 16/24 +  9/24 = 25/24

Pengurangan Bilangan Pecahan

konsep pengurangan pada bilangan pecahan sama saja dengan konsep penjumlahannya. pengurangan bisa dilakukan langsung apabila penyebutnya sama. dan apabila penyebut dari kedua bilangan pecahan yang dikurangkan adalah berbeda, maka harus disamakan terlebih dahulu. contohnya:

Penyebut sama:

3/2 - 1/2 = 2/2 = 1

5/6 - 4/6 = 1/6

4/3 - 2/3 = 2/3

12/4 - 5/4 =  7/4

25/5 - 9/5 = 16/5

Penyebut berbeda:

5/7 - 2/3 = 15/21 - 14/21 =  1/21

5/3 - 3/4 = 20/12 -  9/12 = 11/12

4/3 - 5/6=   8/6  -  5/6  =  3/6

Perkalian dan pembagian bilangan pecahan

Perkalian bilangan pecahan

Untuk mengalikan dua buah bilangan pecahan, cukup dengan mengalikan pembilang dengan pembilang lalu penyebut dengan penyebut, contohnya:

5/7 x 4/5 = 20/35

2/4 x 3/5 =  6/20

7/2 x 8/6 = 56/12

6/3 x 3/8 = 18/24

Pembagian bilangan pecahan

Pembagian bilangan pecahan dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan penyebut secara bertukar. Contohnya:

5/3 : 3/4 = 20/9

2/5 : 4/2 = 4/20

6/7 : 2/9 = 54/14

Itulah penjelasan sederhana mengenai materi pelajaran matematika tentang pengertian bilangan pecahan dan contohnya. Saya harap kalian bisa memahami apa yang dimaksud dengan bilangan pecahan serta bagaimana cara melakukan operasi hitung dengan menggunakan bilangan pecahan. Terus belajar dan terus berlatih.

pengolahan data

Data  adalah setiap kumpulan fakta. Contoh : laporan penjualan, gambaran tentang persediaan, nilai test, nama dan alat pelanggan, laporan cuaca, foto-foto, gambar-gambar, peta.
Data dapat bersifat numeris (data angka) : laporan penjualan, laporan persediaan, nilai test, atau dapat juga bersifat non numeris : nama, alamat pelanggan, gambar dll.
Pengolahan Data adalah manipulasi data agar menjadi bentuk yang lebih berguna. Pengolahan data ini tidak hanya berupa perhitungan numeris tetapi juga operasi-operasi seperti klasifikasi data dan perpindahan data dari satu tempat ke tempat lain. Secara umum, kita asumsikan bahwa operasi-operasi tersebut dilaksanakan oleh beberapa tipe mesin atau komputer, meskipun beberapa diantaranya dapat juga dilakukan secara manual.
Siklus Pengolahan Data
Pengolahan data terdiri dari tiga langkah utama, yakni input, proses (pengolahan), dan output. 

Input : Di dalam langkah ini data awal, atau data input, disiapkan dalam beberapa bentuk yang sesuai untuk keperluan pengolahan. Bentuk tersebut akan bergantung pada pengolahan mesin.
Proses : Pada langkah ini data input diubah, dan biasanya dikombinasikan dengan informasi yang lain untuk menghasilkan data dalam bentuk yang lebih dapat digunakan. Langkah pengolahan ini biasanya meliputi sederet operasi pengolahan dasar tertentu.
Output : Pada langkah ini hasil-hasil dari pengolahan sebelumnya dikumpulkan. Bentuk data output tergantung pada penggunaan data tersebut unutk pengolahan selanjutnya.
Contoh :  Pada suatu semester seorang dosen memberikan tiga buah nilai ( Tugas, UTS, UAS). Pada akhir semester nilai-nilai tersebut harus diproses dan laporan akhir untuk matakuliah yang diampu oleh dosen tersebut disampaikan ke BAAK.
Yang menjadi  data input dalam hal ini adalah nim, nama mahasiswa dan ketiga nilainya. Input ini biasanya dicatat dalam buku dosen tersebut dengan urut nim. Dosen tersebut kemudian mengolah data input dengan menentukan nilai akhir dengan perhitungan 20% x nilai tugas + 30% x nilai UTS + 50% x nilai UAS. Nilai Akhir hasil pengolahan ini selanjutnya merupakan nilai mahasiswa terhadap matakulah yang diikutinya disampaikan ke BAAK dalam bentuk daftar yang terdiri dari NIM, Nama mahasiswa dan nilai akhir yang disusun urut nim.

Siklus Pengolahan Data Lanjut

Originasi : Langkah ini merupakan proses pengumpulan data original (data asli/mentah). Catatan original dari data ini disebut sumber dokumen . Sebagai contoh, sumber dokumen dari contoh kasus perhitungan niali diatas adalah berkas test para mahasiswa yang telah diberi nilai. Perlu diperhatikan bahwa jika ada pernyataan  mengenai nilai akhir mahasiswa, kita dapat melihat kembali dokumen sumber (berkas test para mahasiswa) dan memeriksa barangkali ada kesalahan yang telah dibuat selama langkah ini dilakukan.
Distribusi : Langkao ini merupakan pendistribusian data output. Catatan dari data output ini sering disebut sebagai dokumen laporan. Sebagai contoh, dokumen daftar nilai akhir dari dosen yang diserahkan ke BAAK. Tanda panah  yang berasal dari kotak distribusi kembali ke kotak originasi menunjukkan bahwa dokumen laporan mungkin dapat menjadi dokumen sumber untuk pengolahan data berikutnya.
Penyimpanan (Storage) : Langkah ini merupakan langkah yang amat penting di dalam setiap prosedur pengolahan data. Hasil Pengolahan data seringkali ditempatkan di dalam penyimpanan untuk digunakan sebagai data input untuk diolah pada waktu yang berikutnya. Dua anak panah diantaa kotak proses dan kotak storage menunjukkan interaksi dari kedua langkah ini. Sekumpulan data yang membentuk satu kesatuan di dalam penyimpanan disebut file. Biasanya sebuah file terdiri dari kumpulan record, dimana masing-masing record berisi item data yang sama. Selanjutnya kumpulan file-file yang saling berhubungan disebut data base.
Contoh :  Sebagaiana besar perusahaan menyimpan file induk penggajian yang berisi catatan-catatan gaji para pegawainya. Item data pada setiap record mungkin meliputi nama pegawai, nomor KTP, tingkat upah , upah dan potongan. File tersebut digunakan bersama dengan kartu presensi pegawai untuk memproses gaji mingguan. Siklus pengolahan data dari kasus diatas terlihat sbb :

Dokumen sumber adalah kartu presensi. Data input terdiri dari jumlah jam kerja sebagaimana ditunjukkan dalam kartu presensi, bersama dengan file induk penggajian. Output yang ditentukan selama siklus pengolahan, adalah keterangan mengenai gaji, tunjangan, potongan gaji bersih bersama dengan hasil pengubahan file gaji. Dokumen laporan adalah slip gaji karyawan yang biasanya diberikan kepada masing-masing karyawan yang berisi besarnya upah dan potongan.
Operasi Pengolahan Data
Prosedur pengolahan  data biasanya terdiri dari sejumlah operasi pengolahan dasar yang dilaksanakan dalam beberapa urutan.

• Pencatatan (recording). Pencatatan adalah memindahkan data pada beberapa formulir atau dokumen. Hal ini terjadi tidak hanya selama tahap originasi (pada dokumen sumber) dan tahap distribusi (pada dokumen laporan) akan tetapi terjadi pada seluruh siklus pengolahan.

Contoh : Seorang Dosen mencatat nilai-nilai mahasiswa pada buku hariannya. Pada akhir semester ia mengitung nilai akhir dan mencatatnta pada buku hariannya. Ia menerima lembaran  formulir nilai dari BAAK dan mencatat nilai akhir di formulir tersebut. Bagian BAAK kemudian mencatat  nilai-nilai tersebut pada file induk mahasiswa. Masing-masing nilai di dalam file induk mahasiswa dicatat pada transkrip yang kemudian dikirimkan kepada mahasiswa yang bersangkutan.

• Duplikasi (duplicating). Operasi ini merupakan penggandaan data di atas formulir-formulir atau dokumen. Duplikasi mungkin saja dikerjakan sewaktu data tersebut dicatat secara manual, atau mungkin saja duplikasi dikerjakan setelahnya dengan menggunakan suatu mesin.
• Pemeriksaan (verifying). Karena pencatatan biasanya merupakan operasi manual, adalah penting bahwa data yang telah dicatat tersebut diperiksa secara teliti, barangkali ada kesalahan-kesalahan.
• Klasifikasi. Operasi ini memisahkan data data ke dalam berbagai kategori. Klasifikasi biasanya dapat dikerjakan lebih dari satu cara. Sebagai contoh, sekumpulan daftar pertanyaan  mahasiswa dapat diklasifikasikan sesuai dengan jenis kelamin mahasiswa, atau sesuai tahun masuk mahasiswa.
• Sorting. Mengatur data dalam urutan tertentu. Operasi ini sering terjadi di dalam kehidupan sehari-hari. Nama-nama di dalam buku telepon disorting menurut abjad, data pegawai disorting menurut nomor induk pegawai. Sorting data dapat dilakukan sebelum atau sesudah klasifikasi.

Contoh : Misalkan sebuah file pegawai berisi item data : Nama, No. KTP, No. induk pegawai, dan lokasi kerja. Jika file sisort sesuai urutan Abjad nama, maka field nama tersebut disebut sebagai kunci; tapi jika file disort sesuai dengan No. Induk Pegawai maka no. induk pegawai adalah adalah kuncinya. Pengurutan dapt juga menggunakan lebih dari satu kunci pengurutan, yaitu dengan kunci pertama, kunci kedua dan seterusny. Pengurutan  pertama kali berdasarkan kunci pertama apabila ada kesamaan dat maka digunakan kunci kedua dan seterusnya.

• Merging. Operasi ini adalah mencampur dua atau lebih kumpulan data, semua kumpulan tersebut telah disort dengan kunci yang sama, dan meletakkan kumpulan data tersebut bersama-sama menjadi kumpulan data tunggal yang telah disort.
• Kalkulasi. Melakukan perhitungan numeris pada data yang bertipe numeris.
• Memeriksa tabel, mencari dan mendapatkan kembali data (table look-up, searching, retrieing). Operasi ini bermaksud untuk mendapatkan kembali data tertentu didalam kumpulan data yang telah tersort.

Sebagai contoh, seorang salesman mungkin dapat menulis data ringkasan laporan bulanan pada semua faktur-fakturnya. Laporan tersebut mungkin berisi mengenai total penjuakan, distribusi sesuai dengan daerahnya, dan rekomendasi untuk advertensi item-item tertentu

menghitung luas dan volume

Cara Menghitung Luas, Volume, dan Keliling Balok

Balok adalah benda yang berbentuk  persegi panjang dengan kedua ujung berbentuk  persegi. Balok memiliki  6 buah permukaan yaitu   sisi  depan dan belakang,  sisi atas dan bawah, dan 2 buah sisi ujung (kiri dan kanan). Setiap pasang sisi memiliki ukuran yang sama. Perhatikan gambar balok ABCD-EFGH di bawah ini.

Permukaan sisi balok adalah sbb:

1.    Permukaan Depan      = ABCD
2.    Permukaan Belakang     = EFGH
3.    Permukaan Atas     = AEHD
4.    Permukaan Bawah    = BFGC
5.    Permukaan Ujung Kiri    = ABFE
6.    Permukaan Ujung Kanan= DCGH

Permukaan/ Sisi yang  memiliki ukuran yang sama :
1.    Depan dan Belakang
2.    Atas dan Bawah
3.    Ujung Kiri dan Ujung Kanan

Unsur-unsur  yang dimiliki Sebuah Balok :
1.    Ada 3 pasang sisi yang kongruen atau sama
2.    8 titik sudut
3.    12 rusuk
4.    4 diagonal ruang
5.    4 diagonal sisi
6.    6 bidang diagonal

Rusuk adalah  sisi yang merupakan bagian pinggir dari balok (Lihat Gambar di atas). Banyaknya ada 12 rusuk yaitu :

Ukuran Balok

Ukuran balok adalah ditentukan oleh panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) balokdimana p, l, dan t adalah rusuk dari balok. (Lihat Gambar di atas).

Luas  Balok        

Luas Balok adalah jumlah dari semua permukaan balok.

L = 2pl + 2 pt + 2 lt

L = 2(p.l+p.t+l.t)                                                   (Rumus 1)

Volume Balok                       

Volume Balok adalah perkalian dari ketiga sisi balok.

V =  p.l.t                                                               (Rumus 2)

Keliling Balok 

Keliling Balok adalah jumlah dari semua ukuran rusuk balok.

K =  4(p+l+t)                                                        (Rumus 3)

Diagonal Balok

Perhatikan gambar balok di bawah ini!

a. Diagonal ruang balok          

Diagonal ruang balok adalah garis yang menghubungkan 2 buah sudut dimana garis tersebut melewati ruang dalam balok.

          

(Rumus 4)

b. Diagonal sisi balok

Diagonal sisi balok adalah garis yang menhubungkan 2 buah sudut dari sisi balok, dimana garis tersebut melewati permukaan sisi balok.   

  

                                                  (Rumus 5)

Contoh :

Sebuah balok dengan ukuran panjang 5 meter, lebar 5 centi meter, dan tinggi 10 centi meter. Hitunglah :

a.     Luas Balok

b.    Volume Balok

c.     Keliling Balok

d.    Diagonal Balok

Penyelesaian :

Satuan dari ukuran balok ada 2 macam yaitu satuan meter dan centi meter. Dalam perhitungan, kita harus menggunakan salah satunya. Misalnya kita akan menggunakan satuan cm, maka satuan panjang balok 5 meter harus diubah menjadi satuan centi meter. Dengan demikian, semua ukuran menjadi sama satuannya.

Diketahui : p = 5 meter = 5 x 100 cm = 500 cm

                   l = 5cm

                   t = 10 cm.

a.     Luas = 2(pl + pt + lt)

= 2x(500x5 + 500x10 + 5x10)

= 2x (2500 + 5000 + 50)

= 2 x 7550 cm²

= 15100 cm²

b.    Volume      = p x l x t

= 500 x 5 x 10

= 25000 cm³

c.     Keliling       = 4 ( p + l + t)

= 4 x ( 500 + 5 + 10)

= 4 x 515

= 2060 cm

d.    Diagonal ruang balok

satuan debit

MENENTUKAN DEBIT, VOLUME DAN WAKTU

1. Tentukan volume air yang terpakai dengan cara mengurangkan kedudukan meter akhir (volume air terakhir) dengan kedudukan meter awal (volume air awal)

2. Ubah waktu pemakaian sesuai soal dengan konversi :
1 jam = 60 menit
1 menit = 60 detik
1 jam = 3.600 detik
1 menit = 1/60 jam
1 detik = 1/60 detik
1 jam = 1/3.600 detik

3. Bagi volume air yang terpakai (point 1) dengan waktu (point 2)


Konversi volume :
1 liter = 1 dm³ = 1.000 cm³ = 1.000.000 mm³ = 0.001 m³
1 cc = 1 ml = 1 cm³


CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Dalam 1 jam sebuah keran dapat mengeluarkan air sebesar 3.600 m³. Berapa liter/detik debit air tersebut ?

Penyelesaian

Diketahui 
volume (v) = 3.600 m³ = 3.600.000 dm³ = 3.600.000 liter
waktu (t) = 1 jam = 3.600 detik

Ditanya debit (D) liter/detik

Jawab :
D = v = 3.600.000 liter = 1.000 liter/detik
t = 3.600 detik

0

MENENTUKAN DEBIT, VOLUME DAN WAKTU

1.      Pengertian Debit Air

Debit air adalah kecepatan aliran zat cait per satuan waktu. Misalnya Debit air sungai pesanggrahan adalah 3.000 l / detik.  Artinya setiap 1 detik air yang mengalir di sungai Pesanggrahan adalah 3.000 l. Satuan debit digunakan dalam pengawasan kapasitas atau daya tampung air di sungai atau bendungan agar dapat dikendalikan.

Untuk dapat menentukan debit air maka kita harus mengetahui satuan ukuran volume dan satuan ukuran waktu terlebih dahulu, karena debit air berkaitan erat dengan satuan volume dan satuan waktu.

Perhatikan konversi satuan waktu berikut :

1 jam = 60 menit
1 menit = 60 detik
1 jam = 3.600 detik
1 menit = 1/60 jam
1 detik = 1/60 detik
1 jam = 1/3.600 detik

Konversi  satuan volume :
1 liter = 1 dm³ = 1.000 cm³ = 1.000.000 mm³ = 0.001 m³
1 cc = 1 ml = 1 cm

2.      Menentukan Debit Air 

Rumus

Debit = Volume : Waktu

Dalam 1 jam sebuah keran dapat mengeluarkan air sebesar 3.600 m³. Berapa liter/detik debit air tersebut ?
Penyelesaian
Diketahui 
volume (v) = 3.600 m³

                   = 3.600.000 dm³

                   = 3.600.000 liter
waktu (t)    = 1 jam

                  = 3.600 detik

Maka debitnya = 3.600.000 liter

                            3.600 detik

                         = 1.000 liter/detik

      3.      Menghitung volume

Rumus

Volume = Debit X Waktu

Sebuah bak mandi diisi air mulai pukul 07.20 sampai pukul 07.50. Dengan debit 10 liter/ menit. Berapa liter volume air dalam dalam bak mandi tersebut ?

Penyelesaian

Diketahui

Debit   =  10 liter

Waktu = 07.50 – 07.20

            = 30 menit

Maka volumenya = Debit X Waktu

                             = 10 liter X 30 menit

                             = 300 liter

      4.      Menghitung waktu

Rumus

Waktu = Volume : Debit

Volume bak mandi 200 dm3. Di isi dengan air dari sebuah kran dengan debit

5 liter/menit. Berapa menit waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi sampai penuh ?

Penyelesaian

Diketahui

Volume = 200 dm3

Debit     = 5 liter/ menit

Maka waktu yang di butuhkan = Volume

                                                      Debit

                                                  = 200    

                                                      5

                                                  = 40 menit

Diposkan oleh bilal firmansyah di 21.44 

Penerapan integral dalam kehidupan sehari-hari
Kasus 1
Suatu hari, Reza sedang memanen anggur kemudian dia megambil Sebuah tong anggur. Reza kemudian penasaran untuk menghitung volume tong tersebut agar ia bisa memperkirakan kira-kira berapa tong anggur yang akan dia bawah ,ia kemudian teringat akan akan pelajaran kalkulus yang ia dapatkan pada saat kuliah . Reza kemudian mengukur tong tersebut memiliki jari2 atas dan bawah adalah 30 cm dan jari2 tengah 40 cm.. Tinggi tong adalah 1 m. kemudian reza menghitung volume tong tersebut

Jawaban

Reza akan meletakkan tong pada sisinya untuk membuat suatu perhitungan aljabar

Add caption

kemudian Reza menemukan persamaan parabola dengan titik di (0,40) dan melalui (50,30). 
Dan menggunakan rumus: 
(X - h) 2 = 4 a (y - k) 
Sekarang (h, k) adalah (0, 40) sehingga: x 2 = 4 a (y - 40) dan parabola melewati (50, 30), sehingga 
(50) 2 = 4 a (30 - 40) 
2500 = 4 a (-10) dan 4 a = -250
Jadi persamaan sisi barel 
x 2 = -250 (y - 40), yaitu, 
y = - x 2 / 250 + 40 
kemudian mencari volume tong yang dihasilkan ketika kita memutar parabola antara x = -50 dan x = 50 sekitar sumbu x-. 

Maka di dapat perhitungan Integral sebgai berikut :

Jadi , volume tong anggur 425,2 L.

Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari-hari
Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang integral adalah
Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-bidang lain.
Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume,panjang kurva,memperkirakan populasi,keluaran kardiak,usaha,gaya dan surplus konsumen.
Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantarana ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.
Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan,seperti dalam matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang,menentukan volum benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.
Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva.
Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari,kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial) dan Lihat gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral.
Contoh soal yang menggunakan Integral dalam bidang ekonomi :

1.    Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q² + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?

TR       = ∫ MR dQ
= ∫ 15Q² + 10Q – 5 dQ
= 5Q³ + 5Q² – 5Q + c
jika c    = 0
TR       = 5Q³ + 5Q² – 5Q
2. Diketahui produk marginalnya 2Q² + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?
P          = ∫ MP dQ
= ∫ 2Q² + 4
= 2/3 Q³ + 4Q + c
jika c    = 0
P          = 2/3 Q³ + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q³ + 4Q.